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Academic Year/course: 2022/23

453 - Degree in Mathematics

27006 - Calculus II


Syllabus Information

Academic Year:
2022/23
Subject:
27006 - Calculus II
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
15.0
Year:
2
Semester:
Annual
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

1. General information

1.1. Aims of the course

This is a mandatory course in the degree. 

The topics covered during the course intersect any other area of mathematics as well as nature and social sciences. That's why they are so important from both the theorical and applied points of view. 

These approaches and objectives are aligned with the following Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), in such a way that the acquisition of the learning outcomes of the module provides training and competence to contribute to some extent to their achievement: (4) Quality education, (5) Gender equality, (8) Decent work and economic growth, (9) Industry, innovation and infrastructure, (10) Reducing inequality, (17) Partnerships for the goals.

1.2. Context and importance of this course in the degree

This course belongs to the module Introduction to mathematical analysis, and it is the only one in the subject Functions of several real variables. In order to understand the course, the knowledge of Mathematical Analysis I is essential. In addition, this course is of great importance for the following ones in the degree.  

1.3. Recommendations to take this course

It is recommendable to have passed the course Mathematical Analysis I. 

It is recommendable the attendance to the lectures to learn the concepts and basic results and their application to exercises, as well as the attendance to problem sessions in which the acquired knowledge will be applied to solve proposed problems. The students should come to office hours to ask whatever questions they have. 

Finally, it is recommendable to attend the computer sessions to learn how to use the software in relation to the course. 

2. Learning goals

2.1. Competences

After passing this course, the student will be more competent in the aims described in the paragraph Learning goals. Among the competences that the graduate in mathematics should acquire, we point out the following ones:

  • CE1. Comprehend and use the language and mathematical methods. Know rigorous proofs of the basic theorems in the course.
  • CE2. Propose, analyze, validate and interpret models for simple real situations, by using the most appropriate math tools for the purposes pursued.
  • CG4. Be able to communicate, both orally and in writing, mathematical information, ideas, problems and solutions to a broad audience.
  • CT3. Recognise, when facing a problem, what is substantial and what is accessory, make conjectures and reason in order to prove or disprove them, identify mistakes in incorrect reasonings, and so on.
  • CE4. Use assorted software to experiment in Mathematics and solve problems.

2.2. Learning goals

In order to pass the course the student must show the following skills:

  • Understanding the algebra and the topology of Rn.
  • Comprehension of the notion of differentiability, computation of partial derivatives using the chain rule, and use of the implicit function theorem.
  • Computation and study of extreme values of functions in open subsets and manifolds in Rn.
  • Statement and resolution of multiple integrals, line integrals and surface integrals.
  • Knowing of the applications to other fields the notions of partial derivatives and multiple, line, and surface integrals.
  • Handling of software to solve problems and give geometric interpretations to the notions involved in the course.

2.3. Importance of learning goals

They give a basic formation in the degree and work as a support for most of the other courses of the degree. 

Moreover, the concepts and techniques included in this course are basic to model numerous problems that are present in other sciences. 

3. Assessment (1st and 2nd call)

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

Lectures including theoretical concepts and fundamental exercises.

Problem-solving sessions to practice and consolidate theoretical concepts and ideas.

Homework based on proposed problems.

There will also be problem-solving sessions in which computers will be used in order to solve different types of exercises proposed in the course.

4.2. Learning tasks

More additional information and material is available in the links http://anamat.unizar.es/docencia.html and https://moodle.unizar.es/.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

4.3. Syllabus

  • Topic 1. Algebraic and topological properties in Rn
  • Topic 2. Functions of several real variables. Limits and continuity.
  • Topic 3. Partial derivatives and differentiability of real-valued and vector-valued functions. Higher order partial derivatives. Functions of class Cp.
  • Topic 4. Taylor's formula. Application to the study of extreme points.
  • Topic 5. Implicit and inverse function theorems, change of variables.
  • Topic 6. Extreme points on manifolds and the Lagrange multipliers rule.
  • Topic 7. Integration in Rn. Differentiation under integral sign, change of variable and Fubini's theorem.
  • Topic 8. Integration of functions and 1-differential forms on paths. Poincaré's lemma.
  • Topic 9. Integration of functions and 2-differential forms on surfaces in R3. Riemann-Green, Gauss-Ostrogradski and Stokes theorems.

4.4. Course planning and calendar

The course consists of six hours per week during the first term and four hours per week during the second one, following the official timetable given by the Faculty of Science in the University of Zaragoza. Two hours per week, from the previous six, in the first term, and one hour and a half, from the previous four, in the second term, are devoted to solve exercises in the classroom.

Computer lessons will take place in the first and second term in time and form to be fixed during the course.

There will be a written exam about the subject explained in the first term, at the end of it.

Besides this, a written final exam will take place according to the schedule.

Dates and locations for exams will be programmed by the center.

Further information concerning timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided in class. Alternatively, information is available in the Faculty of Sciences website and Moodle.

4.5. Bibliography and recommended resources

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27006


Curso Académico: 2022/23

453 - Graduado en Matemáticas

27006 - Análisis matemático II


Información del Plan Docente

Año académico:
2022/23
Asignatura:
27006 - Análisis matemático II
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
15.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Anual
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Se trata de una asignatura de carácter obligatorio dentro del grado.

Su temática está presente en cualquier rama de las matemáticas y en todas las ciencias naturales y sociales, de ahí su vital importancia tanto teórica como aplicada.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los siguientes Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), de tal manera que la adquisición de los resultados de aprendizaje de la asignatura proporciona capacitación y competencia para contribuir en cierta medida a su logro: Objetivo 4: Educación de calidad; Objetivo 5: Igualdad de género; Objetivo 8: Trabajo decente y crecimiento económico; Objetivo 9: Industria, innovación e infraestructuras; Objetivo 10: Reducción de las desigualdades; Objetivo 17: Alianzas para lograr los objetivos.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura está situada en el módulo Iniciación al análisis matemático, como única en la materia Funciones de varias variables reales. Para su seguimiento es indispensable haber cursado la asignatura Análisis matemático I. Es una asignatura básica para poder seguir la práctica totalidad de las asignaturas del grado.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber aprobado la asignatura Análisis matemático I.

Se recomienda la asistencia continuada a las clases teóricas, para conocer los conceptos y resultados básicos de la asignatura y su práctica en ejercicios modelo, así como a las clases de problemas en las que se ejercitarán los conocimientos adquiridos mediante la resolución de variados problemas propuestos por el profesor, y recurrir a las horas de tutoría para despejar las dudas que permanezcan.

Así mismo, se recomienda la asistencia a las prácticas de ordenador para conocer el uso de la informática en relación con la asignatura.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en la sección Resultados de aprendizaje. 

De entre las competencias que debe adquirir el graduado en matemáticas, destacamos las siguientes:

  • CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y métodos matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de la asignatura.
  • CE2. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
  • CG4. Poder comunicar, de forma oral y escrita, información, ideas, problemas y soluciones del ámbito matemático, a un público tanto especializado como no especializado.
  • CT3. Distinguir, ante un problema, lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos.
  • CE4. Utilizar aplicaciones informáticas con distintos tipos de software científico para experimentar en Matemáticas y resolver problemas. 

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

  • Comprensión topológica y algebraica de Rn.
  • Comprender la noción de diferenciabilidad, calcular derivadas de funciones mediante la regla de la cadena y el uso del teorema de la función implícita.
  • Calcular y estudiar extremos de funciones en abiertos y en variedades de Rn.
  • Saber plantear y resolver integrales de funciones de varias variables, integrales curvilíneas e integrales de superficie.
  • Saber utilizar, en aplicaciones a otros campos, los conceptos asociados a las derivadas parciales, a las integrales de línea y de superficie y a las integrales de dos o tres variables.
  • Saber utilizar herramientas informáticas para resolver problemas e interpretar geométricamente los conceptos de la asignatura.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del grado, sirviendo de apoyo a las asignaturas de la mayor parte de las materias de la titulación.

Así mismo, los conceptos y técnicas contenidos en la asignatura son la base de la modelización de numerosos problemas que se presentan en otras ciencias.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

La asignatura se divide en dos cuatrimestres. Para superar la asignatura se deben superar ambos por separado. Con este requisito, la nota final será la media de la nota en ambos cuatrimestre. 

A lo largo del año, se realizará evaluación sobre cuestiones teóricas y/o prácticas mediante pruebas en el aula o trabajo personal. Esta evaluación continua supondrá un veinte por ciento de la nota final.

Se realizarán dos examenes parciales teórico-prácticos al final de cada cuatrimestre, correspondientes a los contenidos impartidos en el mismo. Quien no hubiese superado alguno de los cuatrimestres se examinará de los contenidos correspondientes en las siguientes convocatorias oficiales. La nota de un cuatrimestre superado se conservará a lo largo de todo el año académico. 

Así mismo, el alumno deberá demostrar su competencia en las prácticas informáticas, bien mediante su trabajo en el aula o bien mediante la superación del examen de prácticas de ordenador.

Según la normativa vigente, el alumno puede prescindir de lo anterior y presentarse y, en su caso, superar la asignatura, en los exámenes globales de mayo o junio y junio o julio.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

  • Clases magistrales con conceptos y resultados teóricos y ejercicios modelo.
  • Clase de problemas para practicar y afianzar los conceptos y resultados teóricos adquiridos.
  • Problemas propuestos para trabajo personal del alumno.
  • Prácticas de ordenador para resolución, vía informática, de tipos de ejercicios de la asignatura.

4.2. Actividades de aprendizaje

En las direcciones http://anamat.unizar.es/docencia.html y https://moodle.unizar.es/ está disponible más información y material.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

4.3. Programa

  1. Propiedades algebraicas y topológicas de Rn.
  2. Funciones de varias variables reales. Límites y continuidad.
  3. Derivadas parciales y diferenciabilidad de funciones de varias variables reales. Derivadas parciales de orden superior. Funciones de clase C(p.
  4. Fórmula de Taylor. Aplicación al cálculo de extremos.
  5. Teoremas de la función implícita e inversa, cambio de variable.
  6. Variedades, extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange.
  7. Integración en Rn. Diferenciación bajo signo integral . Teoremas de Fubini y de cambio de variable.
  8. Integración de funciones y 1-formas sobre caminos. Lema de Poincaré.
  9. Integración de funciones y 2-formas sobre superficies en R3. Teoremas de Riemann-Green, Gauss-Ostrogradski y Stokes.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Se impartirán seis horas semanales de clase presencial en el primer cuatrimestre y cuatro horas semanales en el segundo, según el horario que se expondrá en los tablones de alumnos y que estará incluido en la página web de la Facultad.

De estas horas habrá, al menos, dos horas semanales de clases de problemas en el primer cuatrimestre y hora y media semanales en el segundo.

Las clases prácticas de ordenador tendrán lugar durante el primer y segundo cuatrimestre.

Se realizará un examen escrito sobre la materia explicada en el primer cuatrimestre, al final del mismo.

También se realizarán exámenes finales escritos correspondientes a las convocatorias oficiales.

Todos ellos en fechas y ubicaciones programadas por el centro.

Se proporcionará más información sobre el horario, el aula, el horario de tutoría, las fechas de evaluación y otros detalles sobre este curso el primer día de clase. Puede consultarse también la página web de la Facultad de Ciencias y la plataforma  Moodle.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27006